Question

5．已知等差数列{a_n}的各项互不相等，前两项的和为10，设向量$\overrightarrow{m}$=（a₁，a₃），$\overrightarrow{n}$=（a₃，a₇），且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{2×{4}^{n}}$，其前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，a₁+a₂=10，由于$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，可得${a}_{3}^{2}$-a₁a₇=0，再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d≠0，a₁+a₂=10，
∵$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，∴${a}_{3}^{2}$-a₁a₇=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+d=10}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=4}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
（2）证明：b_n=$\frac{{a}_{n}}{2×{4}^{n}}$=$\frac{n+1}{{4}^{n}}$，
其前n项和为T_n=$\frac{2}{4}+\frac{3}{{4}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{4}^{n}}$，
$\frac{1}{4}{T}_{n}=\frac{2}{{4}^{2}}+\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{n}{{4}^{n}}$+$\frac{n+1}{{4}^{n+1}}$，
∴$\frac{3}{4}{T}_{n}$=$\frac{2}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$-$\frac{n+1}{{4}^{n+1}}$=$\frac{1}{4}+\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{n+1}{{4}^{n+1}}$=$\frac{7}{12}-\frac{3n+7}{3×{4}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{7}{9}$-$\frac{3n+7}{9×{4}^{n}}$＜$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．