Question

9．设p：2x²-3x+1≤0，q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为0$≤a≤\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求出命题p，q的等价条件，将￢q是￢p的充分不必要条件，转化为p是q的充分不必要条件，然后建立不等式条件，即可求实数a的取值范围．

解答 解：由2x²-3x+1≤0，得（x-1）（2x-1）≤0，
解得$\frac{1}{2}≤x≤1$，即p：$\frac{1}{2}≤x≤1$，
由x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0得（x-a）[x-（a+1）]≤0，
得a≤x≤a+1，即q：a≤x≤a+1，
若￢q是￢p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件，
则p⇒q，但q⇒p不成立．
则$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{a+1≥1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{a≥0}\end{array}\right.$，解得：0$≤a≤\frac{1}{2}$
综上：0$≤a≤\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性将￢q是￢p的充分不必要条件，转化为p是q的充分不必要条件，然后利用数轴解决问题，注意区间端点值的等号取舍问题．