Question

13．已知曲线C的极坐标方程为：ρ²-2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l经过点P（-1，1）且倾斜角为 $\frac{2}{3}π$
（Ⅰ）写出直线 l的参数方程和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设直线 l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）由直线 l经过点P（-1，1）且倾斜角为 $\frac{2}{3}π$，可得直线 l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）；
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$dr 曲线C的极坐标方程即可得到普通方程．
（II）把直线 l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：${t}^{2}+（2+3\sqrt{3}）t+9$=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（I）∵直线 l经过点P（-1，1）且倾斜角为 $\frac{2}{3}π$，
∴直线 l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）；
曲线C的极坐标方程为：ρ²-2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，化为x²+y²-2x+4y+1=0，即（x-1）²+（y+2）²=4．
（II）把直线 l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：${t}^{2}+（2+3\sqrt{3}）t+9$=0，
∴t₁t₂=9．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=9．

点评 本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．