Question

6．数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₃=17，b₁b₃=16，又a_n=log₄b_n+2．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤a₆₆，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知得b₁=1，b₃=16，由此能求出b_n=4^n-1，从而得到a_n=n+1；
（2）由{a_n}是首项为3，公差为1的等差数列，知a₁²+a₂+a₃+…+a_m=2²+m×2+$\frac{m（m-1）}{2}$×1-2，由此能求出m的最大值．

解答 解：（1）由b₁+b₃=17、b₁b₃=16，知b₁、b₃是方程x²-17x+16=0的两根，
注意到b_n+1＞b_n，得b₁=1，b₃=16，
∴等比数列{b_n}的公比为$\sqrt{\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}}}$=4，
∴b_n=4^n-1，a_n=log₄b_n+2=log₄4^n-1+2=n-1+2=n+1；
（2）由（1）知数列{a_n}是首项为2、公差为1的等差数列，则
$\begin{array}{l}{a_1}^2+{a_2}+{a_3}+…+{a_m}={a_1}^2+{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_m}-{a_1}\\={2^2}+m×2+\frac{m（m-1）}{2}×1-2=\frac{{{m^2}-m}}{2}+2m+2\end{array}$
$由{a_{66}}=67∴2+2m+\frac{{{m^2}-m}}{2}≤67$，
整理得：-13≤m≤10，
∴m的最大值是10．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的灵活运用．