Question

19．设S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n=4S_n-3，则S₄=$\frac{20}{27}$．

Answer 1

分析 a_n=4S_n-3，当n=1时，a₁=4a₁-3，解得a₁．当n≥2时，S_n-S_n-1=4S_n-3，化为${S}_{n}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{3}（{S}_{n-1}-\frac{3}{4}）$，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n=4S_n-3，
∴当n=1时，a₁=4a₁-3，解得a₁=1．
当n≥2时，S_n-S_n-1=4S_n-3，
化为${S}_{n}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{3}（{S}_{n-1}-\frac{3}{4}）$，
∴数列$\{{S}_{n}-\frac{3}{4}\}$是等比数列，首项为$\frac{1}{4}$，公比为-$\frac{1}{3}$，
∴${S}_{n}-\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}（-\frac{1}{3}）^{n-1}$．
令n=4，则S₄=$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}（-\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{20}{27}$．
故答案为：$\frac{20}{27}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．