Question

19．下列命题中，真命题是 （　　）

• A． ?x₀∈R，使得${e^{x_0}}≤0$
• B． sin²x+$\frac{2}{sinx}$≥3（x≠kπ，k∈Z）
• C． 函数f（x）=2^x-x²有两个零点
• D． a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件

Answer 1

分析 A．?x∈R，e^x＞0，即可判断出正误；
B．取x=$-\frac{π}{2}$，则sin²x+$\frac{2}{sinx}$=1-2=-1＜3，即可判断出正误；
C．f（x）=2^x-x²有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（-1，0）内还有一个，即可判断出正误；
D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=$\frac{1}{2}$，满足ab＞1，但是b＜1，即可判断出正误．

解答 解：A．?x∈R，e^x＞0，因此是假命题；
B．取x=$-\frac{π}{2}$，则sin²x+$\frac{2}{sinx}$=1-2=-1＜3，因此是假命题；
C．f（x）=2^x-x²有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（-1，0）内还有一个，因此共有3个，是假命题；
D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=$\frac{1}{2}$，满足ab＞1，但是b＜1，因此a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，是真命题．
故选：D．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数零点的判定方法、不等式的性质、指数函数的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．