Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx，R是实数解，若?x₁∈R，?x₂∈R，?x∈R，f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则|x₂-x₁|的最小值为（　　）

• A． π
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 首先通过三角函数的恒等变换把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步求出函数的周期，最后利用单调性求出结果．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx
=$\sqrt{3}\frac{（1+cos2x）}{2}+\frac{1}{2}sin2x$
=$sin（2x+\frac{π}{3}）+\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以：函数的最小正周期为：$T=\frac{2π}{2}=π$，
由于?x₁∈R，?x₂∈R，?x∈R，f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
所以：函数的单调性所在的区域为周期的一半．
所以：|x₂-x₁|的最小值为$\frac{π}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的周期的应用和单调性的应用．