Question

13．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，a²+b=4，则$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$的最大值为2．

Answer 1

分析 由题意和对数的运算可得$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=log₂a²b，由4=a²+b和基本不等式可得a²b≤4，可得答案．

解答 解：∵a＞1，b＞1，且a^x=b^y=2，
∴x=log_a2，y=log_b2，
∴$\frac{1}{x}$=log₂a，$\frac{1}{y}$=log₂b，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=log₂a²b，
又4=a²+b≥2$\sqrt{{a}^{2}b}$，
∴a²b≤4，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=log₂a²b≤log₂4=2，
当且仅当a²=b即a=$\sqrt{2}$且b=2时取等号，
故答案为：2．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及对数的运算，属基础题．