Question

4．若数列{a_n}满足a₁=1，a_n-1+a_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{（{n}^{2}-n）（-1）^{n}}$（n∈N，且n≥2），则数列{$\frac{{a}_{n+1}}{（2n+1）（2n+3）}$}的前6项和为（　　）

• A． -3
• B． -$\frac{1}{15}$
• C． $\frac{1}{15}$
• D． 3

Answer 1

分析 a_n-1+a_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{（{n}^{2}-n）（-1）^{n}}$（n∈N，且n≥2），变形为（-1）ⁿ（$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$）=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，利用“裂项求和”可得：$\frac{1}{{a}_{1}}+（-1）^{n}\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{n}$．对n分类讨论可得：a_n=（-1）ⁿ⁺¹n．于是$\frac{{a}_{n+1}}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{（-1）^{n}（n+1）}{（2n+1）（2n+3）}$=$（-1）^{n}\frac{1}{4}（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$．即可得出．

解答 解：∵a_n-1+a_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{（{n}^{2}-n）（-1）^{n}}$（n∈N，且n≥2），
∴（-1）ⁿ（$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$）=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴$（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}）$-$（\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}）$+$（\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{4}}）$-…+（-1）ⁿ$（\frac{1}{{a}_{n-1}}+\frac{1}{{a}_{n}}）$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=1-$\frac{1}{n}$．
当n为奇数时，$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=$1-\frac{1}{n}$，
∴a_n=n．
当n为偶数时，$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{n}$，解得a_n=-n．
∴a_n=（-1）ⁿ⁺¹n．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{（-1）^{n}（n+1）}{（2n+1）（2n+3）}$=$（-1）^{n}\frac{1}{4}（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$．
∴数列{$\frac{{a}_{n+1}}{（2n+1）（2n+3）}$}的前6项和=$\frac{1}{4}[-（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）$-…+$（\frac{1}{13}+\frac{1}{15}）]$
=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{15}-\frac{1}{3}）$
=-$\frac{1}{15}$．
故选：B．

点评 本题考查了“裂项求和”方法，考查了变形能力，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．