Question

9．已知等差数列{a_n}的各项均为正数a₁=1，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=1，前n项和为T_n，且b₂S₂=12，b₃S₃=81，设c_n=a_nb_n，{c_n}的前n项和为M_n，求M_n．

Answer 1

分析 设出等差数列的公差和等比数列的公比，利用已知列式求得公差和公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1，再利用错位相减法得答案．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由a₁=1，b₁=1，b₂S₂=12，b₃S₃=81，得$\left\{\begin{array}{l}{q（2+d）=12}\\{{q}^{2}（3+3d）=81}\end{array}\right.$，
∵等差数列{a_n}的各项均为正数，
∴d=2，q=3．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1，
∴c_n=a_nb_n=（2n-1）•3^n-1，
∴M_n=1×3⁰+3×3¹+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1①
3M_n=1×3¹+3×3²+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ②
①-②得-2M_n=1+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）×3ⁿ=-（2n-2）×3ⁿ-2
∴M_n=（n-1）×3ⁿ+1

点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的前n项和，是中档题，求数列的前n项和，首先应该求出数列的通项，判断通项的特点，选择合适的求和方法．