Question

20．已知x₁，x₂是函数f（x）=e^-x-|lnx|的两个零点，则x₁x₂的取值范围是$\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1．

Answer 1

分析 不妨设0＜x₁＜1＜x₂，从而可得${e}^{-{x}_{1}}$+lnx₁=0，${e}^{-{x}_{2}}$-lnx₂=0；化简可得ln（x₁x₂）=ln（x₁）+ln（x₂）=${e}^{-{x}_{2}}$-${e}^{-{x}_{1}}$；从而解得．

解答 解：作函数y=e^-x与y=|lnx|的图象如图，
不妨设0＜x₁＜1＜x₂，
则${e}^{-{x}_{1}}$+lnx₁=0，
${e}^{-{x}_{2}}$-lnx₂=0；
故ln（x₁x₂）=ln（x₁）+ln（x₂）
=${e}^{-{x}_{2}}$-${e}^{-{x}_{1}}$；
∵0＜x₁＜1＜x₂，
∴-1＜${e}^{-{x}_{2}}$-${e}^{-{x}_{1}}$＜0；
故-1＜ln（x₁x₂）＜0；
故$\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1；
故答案为：$\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．