Question

18．如果数列{a_n}中，相邻两项a_n和a_n+1是二次方程x_n²+2nx_n+c_n=0（n=1，2，3…）的两个根，当a₁=2时，则c₁₀₀的值为（　　）

• A． -9984
• B． 9984
• C． 9996
• D． -9996

Answer 1

分析 a_n和a_n+1是二次方程x_n²+2nx_n+c_n=0（n=1，2，3…）的两个根，可得a_n+a_n+1=-2n，a_n+2-a_n=-2，因此数列{a_2k-1}与{a_2k}都是公差为-2的等差数列，可得a_2n=-2n-2，a_2n-1，即可得出c₁₀₀=a₁₀₀•a₁₀₁．

解答 解：∵a_n和a_n+1是二次方程x_n²+2nx_n+c_n=0（n=1，2，3…）的两个根，
∴a_n+a_n+1=-2n，
则（a_n+1+a_n+2）-（a_n+a_n+1）=-2，
∴a_n+2-a_n=-2，
∴数列{a_2k-1}与{a_2k}都是公差为-2的等差数列，
由a₁=2，a₁+a₂=-2，解得a₂=-4，
则a_2n=-4-2（n-1）=-2n-2，a_2n-1=2-2（n-1）=-2n+4，
∴a₁₀₀=-2×50-2=-102，a₁₀₁=-2×51+4=-98，
∴c₁₀₀=a₁₀₀•a₁₀₁=-102×（-98）=9996．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、一元二次的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．