Question

1．如图1，在边长为12的正方形AA′A₁′A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，且BC=4，AA₁′分别交BB₁，CC₁于点P，Q，将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得A′A₁′与AA₁重合，构成图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，在图2中．
（Ⅰ）求证：AB⊥PQ；
（Ⅱ）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值；
（Ⅲ）在底边AC上有一点M，使得BM∥平面APQ，求$\frac{AM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB⊥BC．AB⊥BB₁，得AB⊥平面BC₁，易得AB⊥PQ；
（Ⅱ）先求得各点的坐标，从而得出相应向量的坐标，再求出平面APQ的法向量，由线面角公式求解；
（Ⅲ）过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，由PB∥CQ得MN∥PB，从而四边形PBMN为平行四边形，对边平行BM∥PN，由线面平行的判定定理得BM∥平面APQ．

解答 （Ⅰ）证明：因为AB=3，BC=4，
所以AC=5，从而AC²=AB²+BC²，
即AB⊥BC．
又因为AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BC₁，
又PQ?平面BC₁，所以AB⊥PQ；
（Ⅱ）解：由图1知，PB=AB=3，QC=7，分别以BA，BC，BB₁为x，y，z轴，则A（3，0，0），C（0，4，0），P（0，0，3），Q（0，4，7）
$\overrightarrow{BC}$=（0，4，0），$\overrightarrow{AP}$=（-3，0，3），$\overrightarrow{AQ}$=（-3，4，7）
设平面APQ的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
得$\left\{\begin{array}{l}{-3a+3c=0}\\{-3a+4b+7c=0}\end{array}\right.$，
令a=1，则c=1，b=-1，
所以cos＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-4}{4×\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以直线BC与平面APQ所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（Ⅲ）解：AM：MC=3：4
过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，
∵AM：MC=3：4，
∴AM：AC=MN：CQ=3：7
∴MN=PB=3，
∵PB∥CQ∴MN∥PB，∴四边形PBMN为平行四边形，
∴BM∥PN，∴BM∥平面APQ，
∴BM∥平面APQ，$\frac{AM}{MC}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系和线面平行和线面垂直的判定定理及空间向量的应用，培养学生转化的能力．