Question

2．如图，已知三棱柱ABC-ABC侧棱柱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（1）证明：MN∥平面AA′C′C；
（2）设AB=λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）设A′B′的中点为E，连接EM，EN，利用三角形的中位线，得出线线平行，用面面平行判定定理即可得到面EMN∥面ACC′A′，即可得到线面平行
（2）连接BN，设AA′=a，AB=λAA′=λa，即可得到BC，BN，CN，要得到CN⊥平面A′MN，只需利用线面垂直的判定定理，即可得到关于λ的方程，解之即得答案．

解答 解：（1）证明：设A′B′的中点为E，连接EM，EN，
∵点M，N分别为A′B和B′C′的中点，
∴NE∥A′C′，ME∥AA′，
又∵A′C′?平面ACC′A′，AA′?平面ACC′A′，
∴NE∥平面ACC′A′，ME∥平面ACC′A′，
∵NE∩ME=E，
∴面EMN∥面ACC′A′，
∵MN?面EMN，
∴MN∥面ACC′A′； 
（2）连接BN，设AA′=a，AB=λAA′=λa，
由题意知，BC=$\sqrt{2}λa$，BN=CN=$\sqrt{C′{C}^{2}+C′{N}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{2}{λ}^{2}{a}^{2}}$，
∵三棱柱ABC-A′B′C′侧棱垂直于底面，
∴面A′B′C′⊥面BB′C′C，
∵AB=AC，∠BAC=90°点N为B′C′的中点，
∴A′N⊥平面BB′C′C，∴CN⊥A′N，
要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，
∴CN²+BN²=BC²，即$2（{a}^{2}+\frac{1}{2}{λ}^{2}{a}^{2}）=2{λ}^{2}{a}^{2}$，∴$λ=\sqrt{2}$，
则$λ=\sqrt{2}$时，CN⊥平面A′MN．

点评 本题考查了平行和垂直两种重要的关系，用线面垂直的定理和定义实现线线垂直和线面垂直的转化；
一般来说，有中点时再取其它边得中点作辅助线，利用中位线得线线平行，由线面平行的判定定理得线面平行．