Question

13．已知i是虚数单位，C是全体复数构成的集合，若映射f：C→R满足：对任意z₁，z₂∈C，以及任意λ∈R，都有f（λz₁+（1-λ）z₂）=λf（z₁）+（1-λ）f（z₂），则称映射f具有性质P．给出如下映射：
①f₁：C→R，f₁（z）=x-y，z=x+yi（x，y∈R）；
②f₂：C→R，f₂（z）=x²-y，z=x+yi（x，y∈R）；
③f₃：C→R，f₃（z）=2x+y，z=x+yi（x，y∈R）；
其中，具有性质P的映射的序号为（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 求出两个向量的和的坐标；分别对三个函数求f（λz₁+（1-λ）z₂）、λf（z₁）+（1-λ）f（z₂）的值，判断哪个函数具有f（λz₁+（1-λ）z₂）=λf（z₁）+（1-λ）f（z₂）

解答 解：设 z₁=（x₁，y₁），z₂=（x₂，y₂），则λ z₁+（1-λ） z₂=（λx₁+（1-λ）x₂，λy₁+（1-λ）y₂），
对于①，f[λa+（1-λ）z₂]=λx₁+（1-λ）x₂+λy₁+（1-λ）y₂+1=λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1
而λf（ a）+（1-λ）f（z₂）=λ（x₁+y₁+1）+（1-λ）（x₂+y₂+1）═λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1，
f₁满足性质p；f₂（λa+（1-λz₂））=[λx₁+（1-λ）x₂]²+[λy₁+（1-λ）y₂]，λf₂（z₁）+（1-λ）f₂（b）=λ（x₁²+y₁）+（1-λ）（x₂²+y²）
∴f₂（λz₁+（1-λz₂））≠λf₂（z₁）+（1-λ）f₂（z₂），
∴映射f₂不具备性质P．
对于②，对于③，f[λ a+（1-λ）z₂]=λx₁+（1-λ）x₂-λy₁-（1-λ）y₂=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂）
而λf（z₁）+（1-λ）f（z₂）=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂），f₃满足性质P
故选：B．

点评 本题考查理解题中的新定义、考查利用映射的法则求出相应的像．