Question

1．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0），图象最低点的纵坐标是-$\sqrt{3}$，相邻的两个对称中心是（$\frac{π}{3}$，0）和（$\frac{5π}{6}$，0）
（1）求f（x）的解析式
（2）f（x）的值域
（3）f（x）的对称轴．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，再根据特殊点的坐标求得φ的值，可得函数的解析式．
（2）由函数的解析式利用正弦函数的值域，求得f（x）的最值．
（3）由条件根据正弦函数的图象的对称性，求得f（x）的对称轴．

解答 解：（1）由题意可得A=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{ω}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$，∴ω=2．
再根据f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=0，可得sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=0．
再结合，-π＜φ＜0，可得φ=-$\frac{2π}{3}$，∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{2π}{3}$）．
（2）根据f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{2π}{3}$），可得函数的最大值为$\sqrt{3}$，最小值为-$\sqrt{3}$．
（3）令2x-$\frac{2π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{7π}{12}$，k∈z，
故f（x）的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{7π}{12}$，k∈z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的值域和它的图象的对称轴，属于中档题．