Question

16．已知△ABC的面积为1，三边长分别为a，b，c，则a²+2bc的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，又$\frac{1}{2}bcsinA$=1，利用基本不等式的性质可得：a²+2bc=b²+c²-2bccosA+2bc≥4bc-2bccosA=4×$\frac{2-cosA}{sinA}$．令f（A）=$\frac{2-cosA}{sinA}$，A∈（0，π）．利用导数研究其单调性极值与最值即可．

解答 解：由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
又$\frac{1}{2}bcsinA$=1，
∴a²+2bc=b²+c²-2bccosA+2bc≥4bc-2bccosA=$\frac{2}{sinA}$（4-2cosA）=4×$\frac{2-cosA}{sinA}$．
令f（A）=$\frac{2-cosA}{sinA}$，A∈（0，π）．
∴f′（A）=$\frac{si{n}^{2}A-2cosA+co{s}^{2}A}{si{n}^{2}A}$=$\frac{1-2cosA}{si{n}^{2}A}$，
当$-1＜cosA＜\frac{1}{2}$时，f′（A）＞0，此时函数f（A）单调递增；当$\frac{1}{2}＜cosA＜1$时，f′（A）＜0，此时函数f（A）单调递减．
∴当cosA=$\frac{1}{2}$时，f（A）取得最大值，∴a²+2bc≥$4×\frac{2-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$．
故a²+2bc的最小值为4$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．