Question

11．求证：$\frac{1}{n+1}$（1+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2n-1}$）$＞\frac{1}{n}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n}$）（n∈N，n≥2）

Answer 1

分析 由$\frac{1}{2}≥$$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{4}$＞＞$\frac{1}{6}$＞…＞$\frac{1}{2n}$，可得$\frac{n}{2}$＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2n}$，则有$\frac{n}{2}$+$\frac{n}{12}$+$\frac{n}{30}$+…+$\frac{n}{2n•（2n-1）}$＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2n}$，
而$\frac{1}{2n•（2n-1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$，再由拆项和合并，即可得证．

解答 证明：由$\frac{1}{2}≥$$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{4}$＞＞$\frac{1}{6}$＞…＞$\frac{1}{2n}$，
即有$\frac{n}{2}$＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2n}$，
则有$\frac{n}{2}$+$\frac{n}{12}$+$\frac{n}{30}$+…+$\frac{n}{2n•（2n-1）}$＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2n}$，
而$\frac{1}{2n•（2n-1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$，
即有$\frac{n}{2}$+$\frac{n}{12}$+$\frac{n}{30}$+…+$\frac{n}{2n•（2n-1）}$=n（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$）
=n（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$）-n（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n}$）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2n}$，
即n（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$）＞（n+1）（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2n}$），
也就是$\frac{1}{n+1}$（1+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2n-1}$）$＞\frac{1}{n}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n}$）．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查放缩法证明不等式，注意运用不等式的性质，属于中档题．