Question

9．求证：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn．

Answer 1

分析 引入辅助函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，由导数证明其在[1，+∞）上为增函数，得到f（$\frac{n}{n-1}$）＞0，即$\frac{1}{n}＜ln\frac{n}{n-1}$，则数列不等式得证．

解答 解：令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，则${f}^{′}（x）=\frac{-x-1+x}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$，
当x≥1时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}+ln\frac{n}{n-1}$=ln$\frac{n}{n-1}-\frac{1}{n}$＞f（1）=0，
即：$\frac{1}{n}＜ln\frac{n}{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n}{n-1}$=1nn．

点评 本题考查了数列的求和，考查了利用构造函数法证明数列不等式，关键是构造出增函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，是中档题．