Question

20．设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*．设S_n为数列{b_n}的前n项和，已知b₁≠0，2b_n-b₁=S₁•S_n，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=b_n•log₃a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）证明：对任意n∈N^*且n≥2，有$\frac{1}{{{a_2}-{b_2}}}$+$\frac{1}{{{a_3}-{b_3}}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}-{b_n}}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判断a_n}是等比数列，求出通项公式，判断{b_n}是等比数列，求出通项公式为b_n．
（Ⅱ）化简c_n的表达式，利用错位相减法求解T_n即可．
（Ⅲ）化简$\frac{1}{{{a_n}-{b_n}}}$并利用放缩法，通过数列求和证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=3a_n，∴{a_n}是公比为3，首项a₁=1的等比数列，
∴通项公式为a_n=3^n-1．…（2分）
∵2b_n-b₁=S₁•S_n，∴当n=1时，2b₁-b₁=S₁•S₁，
∵S₁=b₁，b₁≠0，∴b₁=1． …（3分）
∴当n＞1时，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，∴b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是公比为2，首项a₁=1的等比数列，
∴通项公式为b_n=2^n-1．…（5分）
（Ⅱ）c_n=b_n•log₃a_n=2^n-1log₃3^n-1=（n-1）2^n-1，…（6分）
T_n=0•2⁰+1•2¹+2•2²+…+（n-2）2^n-2+（n-1）2^n-1…①
2T_n=0•2¹+1•2²+2•2³+…+（n-2）2^n-1+（n-1）2ⁿ…②
①-②得：-T_n=0•2⁰+2¹+2²+2³+…+2^n-1-（n-1）2ⁿ
=2ⁿ-2-（n-1）2ⁿ=-2-（n-2）2ⁿ
∴T_n=（n-2）2ⁿ+2．  …（10分）
（Ⅲ）$\frac{1}{{{a_n}-{b_n}}}$=$\frac{1}{{{3^{n-1}}-{2^{n-1}}}}$=$\frac{1}{{3•{3^{n-2}}-{2^{n-1}}}}$=$\frac{1}{{{3^{n-2}}+2（{3^{n-2}}-{2^{n-2}}）}}$≤$\frac{1}{{{3^{n-2}}}}$+$\frac{1}{{{a_2}-{b_2}}}$+$\frac{1}{{{a_3}-{b_3}}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}-{b_n}}}$
＜$\frac{1}{3^0}$+$\frac{1}{3^1}$+…+$\frac{1}{{{3^{n-2}}}}$=$\frac{{1-{{（\frac{1}{3}）}^{n-1}}}}{{1-\frac{1}{3}}}$
=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$）＜$\frac{3}{2}$． …（14分）

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，错位相减法以及放缩法的应用，考查计算能力．