Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）判断∠PCE为二面角P-AC-E的平面角，利用余弦定理即可求解．
（Ⅲ）作PF⊥CE，F为垂足．连接AF，说明∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角．然后解三角形即可求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC．
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=$\sqrt{2}$．
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，
∴AC⊥CP，AC⊥CE，
∴∠PCE即为二面角P-AC-E的平面角．  …（6分）
∵PC=AB=2AD=2CD=2，
∴在△PCB中，可得PE=CE=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴cos∠PCE=$\frac{{C{P^2}+C{E^2}-P{E^2}}}{2CP•CE}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$． …（9分）
（Ⅲ）作PF⊥CE，F为垂足．
由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，
∵平面平面EAC∩平面PBC=CE，
∴PF⊥平面EAC，连接AF，
则∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角．  …（11分）
由（Ⅱ）知CE=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，∴PF=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴sin∠PAF=$\frac{PF}{PA}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$． …（13分）

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．