Question

12．函数f（x）=3ax²-2（a+c）x+c （a＞0），设a＞c＞0，若f（x）＞c²-2c+a 对x≥1恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 先求二次函数f（x）的对称轴x=$\frac{a+c}{3a}$，所以根据a＞c＞0可判断$\frac{a+c}{3a}＜1$，所以得到函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，最小值便为a-c．所以要使f（x）＞c²-2c+a，对x≥1恒成立，所以只需最小值a-c＞c²-2c+a，解不等式即得c的取值范围．

解答 解：f（x）的对称轴为x=$\frac{a+c}{3a}$；
∵a＞c＞0；
∴a+c＜3a；
∴$\frac{a+c}{3a}＜1$；
所以f（x）在[1，+∞）上单调递增，在该区间上的最小值为f（1）=a-c；
∴a-c＞c²-2c+a；
即c²-c＜0；
∴c∈（0，1）；
即c的取值范围为（0，1）．

点评 考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性特点，以及根据函数的单调性求其最小值．