Question

3．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角A₁-BD-A的余弦值大小是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 取BD的中点O，连接OA₁，OA，则∠AOA₁就是二面角A₁-BD-A的平面角，由此能求出二面角A₁-BD-A的余弦值．

解答 解：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
则BD=A₁D=A₁B=$\sqrt{2}$a，AD=BA=AA₁=a，
取BD的中点O，连接OA₁，OA，则∠AOA₁就是二面角A₁-BD-A的平面角，
∵AO=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，A₁0=$\sqrt{{a}^{2}+（{\frac{\sqrt{2}}{2}a）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}a}{2}$
∴cos∠AOA₁=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{\sqrt{6}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题．解题时要认真审题，正方体性质的合理运用．