Question

2．棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 由三视图还原几何体由题意可得x²+y²=5，进而由基本不等式可得$\frac{1}{\sqrt{xy}}$的范围，而$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{x+y}{xy}$≥$\frac{2\sqrt{xy}}{xy}$=2•$\frac{1}{\sqrt{xy}}$，由不等式的性质可得．

解答 解：由题意可得该三棱锥的直观图如图所示，设高AB=h，
则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{h}^{2}+{y}^{2}={2}^{2}}\\{{1}^{2}+{h}^{2}={x}^{2}}\end{array}\right.$，消去h并整理可得x²+y²=5，
∴5=x²+y²≥2xy，∴xy≤$\frac{5}{2}$，
∴$\sqrt{xy}$≤$\sqrt{\frac{5}{2}}$，∴$\frac{1}{\sqrt{xy}}$≥$\sqrt{\frac{2}{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{x+y}{xy}$≥$\frac{2\sqrt{xy}}{xy}$=2•$\frac{1}{\sqrt{xy}}$≥$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
当且仅当x=y=$\frac{\sqrt{10}}{2}$时取等号，
故答案为：$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及几何体的三视图，由三视图得几何体并推出xy的关系式是解决问题的关键，属中档题．