Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n，则a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

Answer 1

分析 易得数列{a_n²}是1为首项4为公比的等比数列，代入求和公式计算可得．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=2²=4，
∴数列{a_n²}是1为首项4为公比的等比数列，
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$
故答案为：$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

点评 本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的判定，属基础题．