Question

19．函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为4．

Answer 1

分析 先求出A的坐标，代入直线方程，再利用“1”的代换，结合基本不等式，可得结论．

解答 解：∵函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，
∴A（1，1），
∵点A在直线mx+ny-1=0上（mn＞0），
∴m+n=1（mn＞0），
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）=2+$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$≥2+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{m}{n}}$=4，当且仅当m=n=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴m=n=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查指数函数的性质，正确运用基本不等式是关键．