Question

16．已知矩形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，将此矩形按如图所示流程沿地面上一直线滚动，在滚动过程中，始终与地面垂直，设BC与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为f（θ），求：
（1）θ的取值范围；
（2）f（θ）的解析式；
（3）f（θ）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据BC与地面所成的角，是直线BC与平面所成的角，得出θ的取值范围；
（2）先求出∠DBC的大小，再作出图形，根据图形求出f（θ）的解析式；
（3）根据（2），结合三角函数的图象与性质，求出f（θ）的值域．

解答 解：（1）BC与地面所成的角，是直线BC与地平面所成的角，
∴角θ的范围是[0，$\frac{π}{2}$]；
（2）连接BD，Rt△BCD中，CD=AB=1，BC=AD=$\sqrt{3}$，
∴∠DBC=$\frac{π}{6}$；
过点D作地平面的垂线，垂足为E，如图所示；
在Rt△BDE中，∠DBE=θ+$\frac{π}{6}$，DB=2，
∴f（θ）=2sin（θ+$\frac{π}{6}$），（0≤θ≤$\frac{π}{2}$）；
（3）由（2）知，当0≤θ≤$\frac{π}{2}$时，$\frac{π}{6}$≤θ+$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴1≤2sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤2，
∴f（θ）的值域是[1，2]．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数学建模的应用问题，是基础题目．