Question

9．如图，y=f（x）是可导函数，直线l：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），其中g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=0．

Answer 1

分析 先从图中求出切点，再求出直线l的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的运算法则，求出g′（3）的值．

解答 解：∵直线l：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，
∴f（3）=1，
又点（3，1）在直线l上，
∴3k+2=1，从而k=-$\frac{1}{3}$，
∴f′（3）=k=-$\frac{1}{3}$，
∵g（x）=xf（x），
∴g′（x）=f（x）+xf′（x）
则g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（-$\frac{1}{3}$）=0
故答案为：0．

点评 本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值为曲线的切线的斜率，正确求导是解题的关键．