Question

14．已知函数f（x）=2ax²+bx-3a+1，当x∈[-4，4]时，f（x）≥0恒成立，则5a+b最值为最大值为$\frac{17}{21}$；最小值为-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由题意，f（0）≥0成立，所以a≤$\frac{1}{3}$，再分类讨论，利用线性规划知识求解，即可求出5a+b的最小值．

解答 解：由题意，f（0）≥0成立，所以a≤$\frac{1}{3}$．
①0＜a≤$\frac{1}{3}$时，则问题等价于$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{4a}≤-4}\\{f（-4）≥0}\end{array}\right.$（1）或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{4a}≥4}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$（2）或$f（-\frac{b}{4a}）≥0$（3）
（1）$\left\{\begin{array}{l}{16a-b≤0}\\{29a-4b+1≥0}\end{array}\right.$，对应的区域如图所示，
由图知，直线z=5a+b经过点O（0，0）时，取得最小值0；
直线z=5a+b经过点（$\frac{1}{35}$，$\frac{16}{35}$）时，取得最大值$\frac{21}{35}$；

（2）$\left\{\begin{array}{l}{16a+b≤0\\;}\\{29a+4b+1≥0}\end{array}\right.$对应的区域如图所示，
由图知，直线z=5a+b经过点A（$\frac{1}{35}$，-$\frac{16}{35}$）时，取得最小值-$\frac{11}{35}$；
直线z=5a+b经过点O（0，0）时，取得最大值0；

（3）24a²-8a+b²≤0，对应的区域如图所示，
由图知，直线z=5a+b经过点B（$\frac{1}{21}$，-$\frac{12}{21}$）时，取得最小值-$\frac{1}{3}$；
直线z=5a+b经过点（$\frac{1}{21}$，$\frac{12}{21}$）时，取得最大值$\frac{17}{21}$；

②a≤0时，问题等价于$\left\{\begin{array}{l}{f（-4）≥0}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{29a-4b+1≥0}\\{29a+4b+1≥0}\end{array}\right.$，对应的区域如图所示，
由图知，直线z=5a+b经过点C（0，-$\frac{1}{4}$）时，取得最小值-$\frac{1}{4}$，
直线z=5a+b经过点C（0，$\frac{1}{4}$）时，取得最大值$\frac{1}{4}$；
综上，a=$\frac{1}{21}$，b=$\frac{12}{21}$时，取得最大值$\frac{17}{21}$．
a=$\frac{1}{21}$，b=-$\frac{12}{21}$时，取得最小值-$\frac{1}{3}$．
故答案为，：5a+b最大值为$\frac{17}{21}$；最小值为-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查的是不等式以及线性规划，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．