Question

4．已知P为抛物线x²=4y上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（2，0），则|PA|+|PM|的最小值为$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为P到准线与P到A点距离之和最小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，进而推断出P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，利用两点间距离公式求得|FA|，则|PA|+|PM|可求．

解答 解：依题意可知，抛物线x²=4y的焦点F为（0，1），
准线方程为y=-1，
只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，
（因为x轴与准线间距离为定值1不会影响讨论结果），
由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点F的距离，
此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可，
显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，
由两点间距离公式得|FA|=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|-1=$\sqrt{5}$-1．
故答案为：$\sqrt{5}$-1．

点评 本题主要考查了抛物线的定义、方程和简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析推理能力．