Question

9．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈R．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在[0，$\frac{π}{2}$]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为 $\frac{2π}{ω}$，得出结论．
（2）根据正弦函数的增区间求得函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的增区间．
（3）根据正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最值．

解答 解：（1）对于函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈R，它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
故函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈z．
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，故当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，函数取得最小值为$\sqrt{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1；
当 2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．