Question

18．甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次；当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则就进入下一局，并且按相同的规则继续进行游戏；规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏．已知每次掷硬币中正面向上与反面向上的概率都是$\frac{1}{2}$，则下列结论中正确的是③．
①第一局甲就出局的概率是$\frac{1}{3}$；
②第一局有人出局的概率是$\frac{1}{2}$；
③第三局才有人出局的概率是$\frac{3}{64}$；
④若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是$\frac{1}{3}$；
⑤该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于$\frac{1}{1000}$．

Answer 1

分析 三人各掷硬币一次，所有的结果共8种．由于当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；
①当有甲掷得的结果与其他二人不同时，共有2种结果
②第一局有人出局时，有6种结果，
③由于第三局才有人出局，则前两局无人出局，
④由于直到第九局才有人出局，则前8局无人出局，则直到第九局才有人出局，
⑤若该游戏在终止前，至少玩了六局，则前5局无人退出，
即可求出相应的概率．

解答 解：三人各掷硬币一次，每一次扔硬币都有2种结果，所有的结果共有2³=8种．
由于当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；
①当有甲掷得的结果与其他二人不同时，有正反反，反正正，共有2种结果，故第一局甲就出局的概率是$\frac{1}{4}$；
②第一局有人出局时，有正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，共有6种结果，故第一局有人出局的概率是$\frac{3}{4}$；
③由于第三局才有人出局，则前两局无人出局，故第三局才有人出局的概率是$\frac{2}{8}×\frac{2}{8}×\frac{6}{8}$=$\frac{3}{64}$；
④由于直到第九局才有人出局，则前8局无人出局，则直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是$（\frac{2}{8}）^{8}×\frac{6}{8}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{{4}^{9}}$；
⑤若该游戏在终止前，至少玩了六局，则前5局无人退出，故该游戏在终止前，至少玩了六局的概率为1-$\frac{6}{8}$-$\frac{2}{8}×\frac{6}{8}$-$（\frac{2}{8}）^{2}$×$\frac{6}{8}$-$（\frac{2}{8}）^{3}$×$\frac{6}{8}$-$（\frac{2}{8}）^{4}$×$\frac{6}{8}$=$\frac{1}{{4}^{5}}$．
故答案为：③．

点评 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．