Question

19．某大型连锁商厦对自己的员工购买本商厦的物品，实行每月一号两种奖励，第一种u：在规定的商品范围内自由挑选一件，第二种v：送积分，月末发奖金（二选一），调查资料表明，凡是在本月一号选u的员工，下月一号会有40%改选v，而选v的员工，下月一号则有50%改选u，若此商厦共有1800名员工，用u_n、v_n分别表示在第n（n为正整数）个月一号选u，v优惠方式的人数．
（1）试以u_n表示u_n+1；
（2）若u₁=0，求数列{u_n}、{v_n}的通项公式；
（3）在（2）的情况下，问第几个月是一号，选u与选v奖励方式人数相等．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{u}_{n+1}=\frac{3}{5}{u}_{n}+\frac{1}{2}{v}_{n}}\\{{u}_{n}+{v}_{n}=1800}\end{array}\right.$，消去v_n，即可；
（2）根据题意，递推关系式${u}_{n+1}-1000=\frac{1}{10}（{u}_{n}-1000）$，得{u_n-1000}为等比数列，即得{u_n}的通项公式，从而得{v_n}的通项公式；
（3）令u_n=v_n，解之即可．

解答 解：（1）根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{u}_{n+1}=\frac{3}{5}{u}_{n}+\frac{1}{2}{v}_{n}}\\{{u}_{n}+{v}_{n}=1800}\end{array}\right.$，
消去v_n，得 u_n+1=$\frac{1}{10}{u}_{n}+900$；
（2）由（1）知u_n+1=$\frac{1}{10}{u}_{n}+900$，
所以${u}_{n+1}-1000=\frac{1}{10}（{u}_{n}-1000）$，即$\frac{{u}_{n+1}-1000}{{u}_{n}-1000}=\frac{1}{10}$，
又u₁=0，所以{u_n-1000}是以-1000为首项，公比为$\frac{1}{10}$的等比数列，
从而u_n=$1000×（1-\frac{1}{1{0}^{n-1}}）$=1000-10^4-n，
又此商厦共有1800名员工，所以v_n=1800-u_n=800+10^4-n；
（3）在（2）的情况下，当选u与选v奖励方式人数相等时，
即有1000-10^4-n=800+10^4-n，化简得100=10^4-n，解得n=2．
即第二个月一号时，选u与选v奖励方式人数相等．

点评 本题考查数列在实际问题中的应用，考查学生对数学知识的应用能力，属中档题．