Question

1．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1•a_n=a_n-a_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=ln$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）a₁=1，a_n+1•a_n=a_n-a_n+1，变形$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=ln$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$ln\frac{n}{n+2}$=lnn-ln（n+2），利用“累加求和”即可得出．

解答 解：（I）∵a₁=1，a_n+1•a_n=a_n-a_n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=1+n-1$=n，解得a_n=$\frac{1}{n}$．
（II）b_n=ln$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$ln\frac{n}{n+2}$=lnn-ln（n+2），
∴数列{b_n}的前n项和S_n=（ln1-ln3）+（ln2-ln4）+（ln3-ln5）+…+（ln（n-1）-ln（n+1））+（lnn-ln（n+2））
=ln2-ln（n+1）-ln（n+2）
=$ln\frac{2}{（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、对数的运算性质，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．