Question

13．幂函数f（x）=x^α（α为常数）的图象经过点（$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）x∈[-1，1]时，函数y=f（x）-2ax+3的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）是否存在实数m＞n＞0，使得a∈[n，m]时，总有g（a）∈[n²，m²]成立，若存在，求出m，n的值，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据幂函数的定义，利用待定系数法即可得到结论．．
（2）给出的函数是二次函数，求出其对称轴方程，分对称轴在给定的区间左侧，右侧及在区间内，利用函数的单调性求出其在不同区间内的最小值，即可．
（3）根据（2）中g（a）的表达式，作出对应的图象，利用函数的单调性，分别进行讨论判断即可．

解答 解：（1）∵幂函数f（x）=x^α（α为常数）的图象经过点（$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$）
∴f（$\frac{1}{2}$）=$（\frac{1}{2}）^{α}=\frac{1}{4}$，则α=2，即f（x）=x²．
（2）若x∈[-1，1]时，函数y=f（x）-2ax+3=x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²，
对称轴为x=a，
①若a＞1，则函数在[-1，1]上为减函数，则函数的最小值为g（a）=f（1）=4-2a，
②若-1≤a≤1，则函数的最小值为g（a）=f（a）=3-a²，
③若a＜-1，则函数在[-1，1]上为增函数，则函数的最小值为g（a）=f（-1）=4+2a．
（3）由（1）知g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4-2a，}&{a＞1}\\{3-{a}^{2}，}&{-1≤a≤1}\\{4+2a，}&{a＜-1}\end{array}\right.$，
∵m＞n＞0，

∴作出函数g（a）在（0，+∞）上的图象，则函数g（a）为减函数，
①若0＜n＜m≤1，则由g（a）∈[n²，m²]成立，
得$\left\{\begin{array}{l}{3-{n}^{2}={m}^{2}}\\{3-{m}^{2}={n}^{2}}\end{array}\right.$，
∵3-n²＞1，m²＜1，此时方程3-n²=m²不成立．
②若1≤n＜m，则由g（a）∈[n²，m²]成立，
得$\left\{\begin{array}{l}{4-2m={n}^{2}}\\{4-2n={m}^{2}}\end{array}\right.$，两式作差得2（n-m）=n²-m²=（n-m）（n+m），
即n+m=2，
∵1≤n＜m，∴n+m＞2，此时此时方程n+m=2不成立．
③0＜n≤1≤m，（等号不同时取），
则由g（a）∈[n²，m²]成立，
得$\left\{\begin{array}{l}{3-{n}^{2}={m}^{2}}\\{4-2m={n}^{2}}\end{array}\right.$，消去n得（m-1）²=0，
则m=1，此时n²=4-2=2，则n=$\sqrt{2}$＞1，不成立，
综上不存在实数m＞n＞0，使得a∈[n，m]时，总有g（a）∈[n²，m²]成立．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论求二次函数在不同区间上的最值，须注意的是分段函数的值域要分段求，综合性较强，有一定的难度．