Question

12．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0．
（1）求数列{a_n}的公差d的取值范围；
（2）求数列{a_n}的前n项和为S_n取得最大值时n的值．

Answer 1

分析 （1）由a₃=12可得a₁=12-2d，由求和公式代入S₁₂＞0和S₁₃＜0可得d的不等式组，解不等式组可得；
（2）由等差数列的性质和求和公式可得a₆＞0，a₇＜0，可得数列{a_n}的前6项均为正数，从第7项开始为负数，可得结论．

解答 解：（1）由a₃=12可得a₁+2d=12，∴a₁=12-2d，
又∵S₁₂=12a₁+$\frac{12×11}{2}$d=12（12-2d）+$\frac{12×11}{2}$d＞0，∴d＞-$\frac{24}{7}$
同理由S₁₃=13a₁+$\frac{13×12}{2}$d=13（12-2d）+$\frac{13×12}{2}$d＜0，∴d＜-3
∴数列{a_n}的公差d的取值范围为（$-\frac{24}{7}$，-3）；
（2）由题意可得S₁₂=$\frac{12（{a}_{1}+{a}_{12}）}{2}$=6（a₁+a₁₂）=6（a₆+a₇）＞0，
S₁₃=$\frac{13（{a}_{1}+{a}_{13}）}{2}$=$\frac{13×2{a}_{7}}{2}$=13a₇＜0，
∴a₆+a₇＞0，a₇＜0，∴a₆＞0，a₇＜0，
∴数列{a_n}的前6项均为正数，从第7项开始为负数，
∴数列{a_n}的前n项和为S_n取得最大值时n的值为6

点评 本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及前n项和的最值，属中档题．