Question

2．已知cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{5}{13}$，cos（$\frac{π}{4}$-β）=$\frac{3}{5}$，α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），β∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）．
（1）求sinα的值；
（2）求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由两角和与差的余弦函数公式化简已知可得$cosα=\frac{5\sqrt{2}}{13}+sinα$，结合α的范围，两边平方整理可得：338sin²α+130$\sqrt{2}$sinα-119=0，即可解得sinα的值．
（2）由已知可求$\frac{π}{4}$+α∈（0，$\frac{π}{2}$），$\frac{π}{4}$-β∈（-$\frac{π}{2}$，0），从而可求sin（$\frac{π}{4}$+α），sin（$\frac{π}{4}$-β），由cos（α-β）=sin[（$\frac{π}{4}$+α）+（$\frac{π}{4}$-β）]即可求值．

解答 解：（1）∵cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{5}{13}$，
∴化简可得：cos$α-sinα=\frac{5\sqrt{2}}{13}$，既有：$cosα=\frac{5\sqrt{2}}{13}+sinα$，
∵α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），cosα＞0，
∴两边平方整理可得：338sin²α+130$\sqrt{2}$sinα-119=0，
∴解得：sinα=$\frac{-130\sqrt{2}±312\sqrt{2}}{676}$=$\frac{91\sqrt{2}}{338}$或-$\frac{221\sqrt{2}}{338}$．
（2）∵α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），β∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）．
∴$\frac{π}{4}$+α∈（0，$\frac{π}{2}$），$\frac{π}{4}$-β∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{4}+α）}$=$\frac{12}{13}$，sin（$\frac{π}{4}$-β）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{4}-β）}$=-$\frac{4}{5}$，
cos（α-β）=sin[$\frac{π}{2}$+（α-β）]
=sin[（$\frac{π}{4}$+α）+（$\frac{π}{4}$-β）]
=sin（$\frac{π}{4}$+α）cos（$\frac{π}{4}$-β）+cos（$\frac{π}{4}$+α）sin（$\frac{π}{4}$-β）
=$\frac{12}{13}×\frac{3}{5}+\frac{5}{13}×（-\frac{4}{5}）$
=$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查．