Question

6．设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*．设S_n为数列{b_n}的前n项和，已知b₁≠0，2b_n-b₁=S₁•S_n，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=b_n•log₃a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判断a_n}是等比数列，求出通项公式，判断{b_n}是等比数列，求出通项公式为b_n．
（Ⅱ）化简c_n的表达式，利用错位相减法求解T_n即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=3a_n，∴{a_n}是公比为3，首项a₁=1的等比数列，
∴通项公式为a_n=3^n-1．…（2分）
∵2b_n-b₁=S₁•S_n，∴当n=1时，2b₁-b₁=S₁•S₁，
∵S₁=b₁，b₁≠0，∴b₁=1．…（4分）
∴当n＞1时，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，∴b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是公比为2，首项a₁=1的等比数列，
∴通项公式为b_n=2^n-1．…（7分）
（Ⅱ）c_n=b_n•log₃a_n=2^n-1log₃3^n-1=（n-1）2^n-1，…（8分）
T_n=0•2⁰+1•2¹+2•2²+…+（n-2）2^n-2+（n-1）2^n-1…①
2T_n=0•2¹+1•2²+2•2³+…+（n-2）2^n-1+（n-1）2ⁿ…②
①-②得：-T_n=0•2⁰+2¹+2²+2³+…+2^n-1-（n-1）2ⁿ
=2ⁿ-2-（n-1）2ⁿ=-2-（n-2）2ⁿ
∴T_n=（n-2）2ⁿ+2． …（13分）

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，错位相减法的应用，考查计算能力．