Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-2x），x∈R
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）的图象向右平移φ（0≤φ≤$\frac{π}{2}$）个单位长度后变为偶函数，求φ的值．

Answer 1

分析 （1）根据余弦函数的单调性即可求函数f（x）的单调递增区间；
（2）利用三角函数的平移关系结合三角函数的奇偶性进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-2x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），
由2kπ-π≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ，k∈Z，
解得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z
即函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z；
（2）若函数f（x）的图象向右平移φ（0≤φ≤$\frac{π}{2}$）个单位长度，
则得y=$\sqrt{2}$cos[2（x-φ）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$cos（2x-2φ-$\frac{π}{4}$），
若此时函数为偶函数，则-2φ-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
即φ=$-\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}$，
∵0≤φ≤$\frac{π}{2}$，
∴当k=-1时，φ=$\frac{3π}{8}$．

点评 本题主要考查三角函数单调性以及三角函数奇偶性的判断，要求熟练掌握余弦函数的性质．