Question

11．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）
（1）若b=2a，a＜0，写出函数f（x）的单调递减区间，并证明你的结论；
（2）设a，c为常数，若存在实数b使得函数f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点，求实数b的取值范围（用a，c表示）．

Answer 1

分析 （1）代入b=2a得f（x）=ax²+2ax+c在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，+∞）上单调递减；利用导数证明即可；
（2）函数f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点可化为方程ax²+bx+c=0在区间（0，1）内有两个不同的解，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{△={b}^{2}-4ac＞0}\\{0＜-\frac{b}{2a}＜1}\\{c＞0}\\{a+b+c＞0}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：（1）当b=2a时，
f（x）=ax²+2ax+c在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，+∞）上单调递减；
证明如下，
f′（x）=2a（x+1），
∵a＜0，
则当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0；当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）=ax²+2ax+c在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，+∞）上单调递减．
（2）若函数f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点，
即方程ax²+bx+c=0在区间（0，1）内有两个不同的解，
则$\left\{\begin{array}{l}{△={b}^{2}-4ac＞0}\\{0＜-\frac{b}{2a}＜1}\\{c＞0}\\{a+b+c＞0}\end{array}\right.$，
当a＞0时，解得，max{-2a，-（a+c）}＜b＜-2$\sqrt{ac}$；
当a＜0时，max{0，-（a+c）}＜b＜-2a．

点评 本题考查了二次函数的性质及其应用，同时考查了导数的应用及函数零点的问题，属于基础题．