Question

19．已知数列{a_n}中，a_n＞0，S_n是其前n项和，且$\frac{1}{{a}_{n}}$+a_n=2S_n，求a_n．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{{a}_{n}}$+a_n=2S_n，可得当n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}+{a}_{1}$=2a₁，解得a₁．当n≥2时，化为$1+{a}_{n}^{2}=2{S}_{n}{a}_{n}$，变形为$1+（{S}_{n}-{S}_{{n}_{-1}}）^{2}$=2S_n（S_n-S_n-1），化为${S}_{n}^{2}-{S}_{n-1}^{2}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{{a}_{n}}$+a_n=2S_n，∴当n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}+{a}_{1}$=2a₁，a₁＞0，解得a₁=1．
当n≥2时，化为$1+{a}_{n}^{2}=2{S}_{n}{a}_{n}$，变形为$1+（{S}_{n}-{S}_{{n}_{-1}}）^{2}$=2S_n（S_n-S_n-1），化为${S}_{n}^{2}-{S}_{n-1}^{2}$=1，
∴数列$\{{S}_{n}^{2}\}$为等差数列，首项为1，公差为1，
∴${S}_{n}^{2}$=1+（n-1）=n，
∵a_n＞0，∴S_n＞0，
∴${S}_{n}=\sqrt{n}$．当n=1时也成立，
∴${S}_{n}=\sqrt{n}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$，当n=1时也成立，
∴a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．