Question

10．已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．下列关于f（x）的命题：

x	-1	0	4	5
f（x）	-1	3	3	1

①函数f（x）的极小值点为2；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是3，那么t的最大值为5；
④当2＜a＜3时，函数y=f（x）-a有4个零点．
其中正确命题的个数有3 个．

Answer 1

分析 根据函数导数符号和函数单调性的关系，以及极值点的定义，函数最值的定义，零点的定义即可判断每个命题的正误，从而求出正确命题的个数．

解答 解：根据导函数图象：x∈（0，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，4）时，f′（x）＞0；
∴x=2是f（x）的极小值点，f（x）在[0，2]上是减函数，∴①②正确；
通过导函数图象可看出x=0，x=4都是f（x）的极大值点，并且x=0，或x=4时，f（x）取得最大值3；
∵x∈[-1，t]时，f（x）取得最大值3，∴t最大是5，∴③正确；
y=f（x）-a，是将y=f（x）向下平移a个单位得到的；
∵2＜a＜3；
∴对于函数y=f（x）-a，x=-1时，y=-1-a＜0，x=0时，该函数取得极大值3-a＞0，x=2时f（x）取得极小值f（2）-a，因为f（2）＜3，2＜a＜3，所以f（2）-a不能判断符号；
∴不能判断f（x）-a的零点个数，∴④错误；
∴命题正确的个数为3．
故答案为：3．

点评 考查观察图象的能力，函数导数符号和函数单调性的关系，极值点的定义及判断，函数最值的求解，以及函数零点的定义及求解方法．