Question

14．已知定义在x∈[-1，1]上的偶函数f（x）满足：当x∈[0，1]时，f（x）=x+2$\sqrt{2-x}$．
（1）求函数f（x）在x∈[-1，1]上的解析式；
（2）设g（x）=ax+6-2a（a＞0），若对于任意x₁、x₂∈[-1，1]，都有g（x₂）＞f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，可得到f（-x），然后利用奇偶性得到f（x），再合并成分段函数的形式给出结果；
（2）若对于任意x₁、x₂∈[-1，1]，都有g（x₂）＞f（x₁）成立，：只需g（x）_min≥f（x）_max，然后再分别求出两函数相应的最值即可．

解答 解：（1）设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，结合函数f（x）是[-1，1]上的偶函数，
所以f（x）=f（-x）=-x+2$\sqrt{2+x}$，
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+2\sqrt{2-x}，x∈[0，1]\\-x+2\sqrt{2+x}，x∈[-1，0]\end{array}\right.$．
（2）因为对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有g（x₂）＞f（x₁）成立，则只需g（x）_min≥f（x）_max，
又因为y=f（x），x∈[-1，1]是偶函数，所以f（x）的值域就是f（x）在[0，1]值域．
而当x∈[0，1]时，f（x）=x+2$\sqrt{2-x}$，
令t=$\sqrt{2-x}$∈[1，$\sqrt{2}$]，
原函数化为y=-t²+2t+2=-（t-1）²+3，t∈[1，$\sqrt{2}$]，
显然t=1时f（x）_max=3，
又因为g（x）_min=-3a+6，则由题意得$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\-3a+6＞3\end{array}\right.$，
解得0＜a＜1，
即为所求实数a的取值范围为（0，1）．

点评 本题的第二问实际上是与两个函数有关的恒成立问题，这种类型一般分别求出两个函数的最值，然后列出不等式求解．