Question

10．设复数z满足|z|=2，且（1+i）•z是纯虚数，求复数z及共轭复数$\overline{z}$．

Answer 1

分析 复数z满足|z|=2，可设z=2（cosθ+isinθ），由（1+i）•z=2[（cosθ-sinθ）+i（cosθ+sinθ）]是纯虚数，可得cosθ-sinθ=0，cosθ+sinθ≠0，解出即可得出．

解答 解：∵复数z满足|z|=2，
∴可设z=2（cosθ+isinθ），
∵（1+i）•z=（1+i）2（cosθ+isinθ）=2[（cosθ-sinθ）+i（cosθ+sinθ）]是纯虚数，
∴cosθ-sinθ=0，cosθ+sinθ≠0，
∴tanθ=1，
∴cosθ=sinθ=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴z=$±（\sqrt{2}+i\sqrt{2}）$，
∴$\overline{z}$=$\sqrt{2}-i\sqrt{2}$，$\overline{z}$=-$\sqrt{2}$+$i\sqrt{2}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．