Question

20．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c．已知a=3，cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，B=A+$\frac{π}{2}$．
（1）求△ABC的b的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$ 的值，求得sinB=sin（A+$\frac{π}{2}$）的值，再利用正弦定理求得b的值．
（2）求出sinC=sin（A+B）=1，可得C=$\frac{π}{2}$，从而求得△ABC的面积为$\frac{1}{2}$absinC的值．

解答 解：（1）△ABC中，由a=3，cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，B=A+$\frac{π}{2}$，可得sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinB=sin（A+$\frac{π}{2}$）=cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
利用正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，即 $\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{b}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$，求得b=3$\sqrt{2}$．
（2）根据B=A+$\frac{π}{2}$，sinA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得cosB=-sinA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$•（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）+$\frac{\sqrt{6}}{3}$•$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$•3•3$\sqrt{2}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．