Question

15．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（sinB-cosA）=acosC
（1）求C的值；
（2）若a，b，c成等比数列，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）由已知结合正弦定理可得sinCsinB=sinB，由sinB≠0，可得sinC=1，即可解得C的值．
（2）由a，b，c成等比数列，所以b²=ac，可得a²+ac-c²=0，上式两边同除以c²，且sinA=$\frac{a}{c}$，既有sin²A+sinA-1=0，结合A的范围从而解得sinA的值．

解答 解：（1）由c（sinB-cosA）=acosC结合正弦定理可得：sinC（sinB-cosA）=sinAcosC，
整理可得：sinCsinB=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴sinC=1，故可得C=$\frac{π}{2}$．
（2）因为a，b，c成等比数列，所以b²=ac，
由（1）知，△ABC是以角C为直角的直角三角形，
所以c²=a²+b²，将b²=ac代入
整理得a²+ac-c²=0，
上式两边同除以c²，得 $\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{a}{c}$-1=0，
因为sinA=$\frac{a}{c}$，所以sin²A+sinA-1=0，
注意到0＜A＜$\frac{π}{2}$解得sinA=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（舍去sinA=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题主要考查了正弦定理，勾股定理，两角和与差的正弦函数公式，等比数列等知识的综合应用，属于基本知识的考查．