Question

若正数a，b满足2a+b=1，则4a2+b2-

1

ab

的最大值为

-

15

2

．

Answer 1

分析：利用基本不等式求出ab的取值范围，再利用完全平方式和2a+b=1，将4a2+b2-

1

ab

的最大值转化为1-4ab-

1

ab

的最大值，利用换元法，令t=ab，再令y=4a2+b2-

1

ab

，则将问题转化为求y=-4t-

1

t

+1的最大值，利用导数求出函数的单调性，从而确定当t=

1

8

时，y取得最大值，即4a2+b2-

1

ab

的最大值．

解答：解：∵2a+b=1，且a，b均为正实数，
∴1=2a+b≥2

2ab

，
∴0＜ab≤

1

8

，
当且仅当2a=b，即a=

1

4

，b=

1

2

时取等号，
∵4a2+b2-

1

ab

=（2a+b）²-4ab-

1

ab

，且2a+b=1，
∴4a2+b2-

1

ab

=1-4ab-

1

ab

，
令t=ab，则0＜t≤

1

8

，
令y=4a2+b2-

1

ab

，
则y=-4t-

1

t

+1，
y′=-4+

1

t2

=

-4t2+1

t2

，
∵当-

1

2

＜t＜

1

2

时，y′＞0，
∴y=-4t-

1

t

+1在（-

1

2

，

1

2

）上为单调递增函数，
∴y=-4t-

1

t

+1在（0，

1

8

]上为单调递增函数，
∴当t=

1

8

时，y取得最大值为-4×

1

8

-8+1=-

15

2

，
∴4a2+b2-

1

ab

的最大值为-

15

2

．
故答案为：-

15

2

．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用，在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．本题同时考查了运用导数判断函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的增减，利用函数的单调性研究函数的最值问题．属于中档题．