Question

7．已知数列{a_n}是等比数列，并且a₁，a₂+1，a₃是公差为-3的等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_2n，记S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：${S_n}＜\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁，a₂+1，a₃是公差为-3的等差数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_2}+1={a_1}-3\\{a_3}=（{a_2}+1）-3\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}q-{a_1}=-4\\{a_1}{q^2}-{a_1}q=-2\end{array}\right.$，
解得${a_1}=8{，_{\;}}q=\frac{1}{2}$．
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=8×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}={2^{4-n}}$．  
（Ⅱ）证明：∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2n+2}}}}{{{a_{2n}}}}=\frac{1}{4}$，
∴数列{b_n}是以b₁=a₂=4为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列．
∴${S_n}=\frac{{4[1-{{（\frac{1}{4}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{4}}}$=$\frac{16}{3}[1-{（\frac{1}{4}）^n}]＜\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．