Question

设x、y∈R，，为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量＝x＋(y＋2)，＝x＋(y－2)，且||＋||＝8．

(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；

(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设＝＋，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵＝x＋(y＋2)，＝x＋(y－2)且||＋||＝8 　　∴点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0，2)的距离之和为8． 　　∴轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，方程为＋＝1． 　　(2)∵l过y轴上的点(0，3)． 　　若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点． 　　∴＝＋＝，∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾． 　　∴直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)B(x2，y2) 　　由消去y得：(4＋3k2)x2＋18kx－21＝0 　　此时Δ＝(18k)2－4(4＋3k2)(－21)＞0恒成立． 　　且x1＋x2＝－，x1x2＝－． 　　∵＝＋∴四边形OAPB是平行四边形 　　若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则⊥，即·＝0 　　∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)∴·＝x1x2＋y1y2＝0 　　即(1＋k2)x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝0 　　即(1＋k2)·(－)＋3k·(－)＋9＝0 　　即k2＝，得k＝± 　　∴存在直线l：y＝±＋3，使得四边形OAPB为矩形．