Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若（1）中过点A作圆C的切线，切点分别为E，F，求弦|EF|的长度．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$得圆心C，可得圆C的方程，设出切线方程，运用相切的条件d=r，解方程可得k，进而得到切线方程；
（2）由切线方程和圆的方程联立，可得切点的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到弦长．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$得圆心C为（3，2），
∵圆C的半径为1，
∴圆C的方程为：（x-3）²+（y-2）²=1，
显然切线的斜率一定存在，
设所求圆C的切线方程为y=kx+3，
∴$\frac{|3k-2+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴|3k+1|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴k=0或k=-$\frac{3}{4}$，
∴圆C的切线方程为：y=3或者y=-$\frac{3}{4}$x+3，
即y=3或3x+4y-12=0；
（2）由（1）知$\left\{{\begin{array}{l}{y=3}\\{{{（x-3）}^2}+{{（y-2）}^2}=1}\end{array}}\right.∴\left\{{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}}\right.∴E（3，3）$；
∵$直线FC⊥AF∴{k_{FC}}=\frac{4}{3}∴FC：y=\frac{4}{3}x-2$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-12=0}\\{y=\frac{4}{3}x-2}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，即F（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）．
∴|EF|=$\sqrt{（\frac{12}{5}-3）^{2}+（\frac{6}{5}-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查直线和圆相切的条件，考查切线方程和切点弦长的求法，考查运算能力，属于中档题．